อินทิกรัลจำกัดเขต — พื้นที่ใต้กราฟด้วยสูตรของนิวตัน–ไลบ์นิซ
ฟังก์ชัน ฉ(x)
มูลค่าอินทิกรัล
อินทิกรัลจำกัดขอบเขต ∫ f(x) dx จาก a ถึง b คือพื้นที่ระหว่างกราฟกับแกน X ตลอดช่วง [a; ข] ส่วนที่อยู่ใต้แกนจะถูกนับด้วยเครื่องหมายลบ
สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ
สูตรหลักของแคลคูลัสอินทิกรัลเชื่อมโยงอินทิกรัลจำกัดเขตกับแอนติเดริเวทีฟ: ∫ f(x) dx จาก a ถึง b = F(b) − F(a) โดยที่ F คือแอนติเดริเวทีฟใดๆ ของ f ดังนั้นพื้นที่สามารถหาได้โดยไม่มีผลบวกและขีดจำกัด แค่หาแอนติเดริเวทีฟแล้วแทนที่ขอบเขต
📚 ทฤษฎี: อินทิกรัลคืออะไร
อินทิกรัลจำกัดเขต ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่ของรูประหว่างกราฟของ f(x) และแกน X ในช่วงเวลาจาก a ถึง b ลองจินตนาการถึงรูปร่างที่หั่นเป็นแถบแนวตั้งแคบๆ หลายพันเส้น โดยพื้นที่ของ µ f(x)·(ความกว้าง) แต่ละเส้น และอินทิกรัลคือผลรวมของแถบทั้งหมดเมื่อการตัดบางลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
ความหมายทางกายภาพ: ถ้า f(x) คือความเร็ว อินทิกรัลคือระยะทางที่เดินทางทั้งหมด ถ้า f(x) คือกำลัง อินทิกรัลคือพลังงาน อินทิกรัลจะสะสมปริมาณตามอัตราที่กำหนดโดยอินทิกรัล
เครื่องหมายของพื้นที่: บางส่วนของกราฟที่อยู่ต่ำกว่าแกน X มีส่วนในเชิงลบ นั่นคือเหตุผลว่าทำไม ∫ sin x dx ตลอดคาบจึงเท่ากับศูนย์: พื้นที่ด้านบนจะหักล้างพื้นที่ด้านล่าง