Türev — her adımın ayrıntılı bir dökümü ve bir grafikle birlikte
Fonksiyon f(x)
Türev
Nasıl hesaplandı - adım adım
Her adımda uygulanan kuralın adı verilir ve neyin değiştirildiği gösterilir, böylece çözüm not defterinize kopyalanabilir.
Fonksiyonun grafiği ve türevi
Mavi eğri f(x) fonksiyonudur, turuncu eğri ise f′(x) türevidir. Yeşil arka plan: f′(x) > 0 ve fonksiyon artıyor. Kırmızı arka plan: f′(x) < 0 ve fonksiyon azalıyor. Türevin sıfıra eşit olduğu noktalar grafikte işaretlenmiştir; bunlar ekstremumlardır (tepeler ve vadiler).
Türev nedir — üç anlam
Geometrik anlam
f'(x₀) türevi, x₀ noktasındaki grafiğe teğet doğrunun eğimidir, yani eğim açısının tanjantıdır. Büyük bir türev dik bir yükseliş anlamına gelir, negatif bir iniş anlamına gelir, sıfır ise teğetin yatay olduğu (tepe veya vadi) anlamına gelir. İşte tam da bu nedenle türevin işareti size fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu söyler.
Fiziksel anlam
Bir fonksiyon bir cismin konumunu s(t) süresinin bir fonksiyonu olarak tanımlıyorsa, o zaman s′(t) türevi anlık hızdır ve ikinci türev s″(t) ivmedir. Genel olarak türev, bir miktarın değişim oranıdır: x değiştikçe y'nin ne kadar hızlı değiştiği. Newton'un türevi tanıttığı orijinal anlam budur.
Cebirsel anlam
Türev resmi olarak artış oranlarının limitidir: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h, h → 0 olarak. Küçük bir h adımı atıyoruz, fonksiyonun ne kadar değiştiğini görüyoruz ve adımın uzunluğuna bölüyoruz. Adım sıfıra yaklaştıkça oran noktadaki tam değişim oranına yaklaşır.
Türev ve ekstremum
Maksimum ve minimum noktalarda teğet yatay olduğundan buradaki türev sıfıra eşittir. En büyük ve en küçük değerleri bulmanın ana tekniği budur: türevi sıfıra ayarlayın ve kökleri bulun. Böyle bir noktadan geçerken türevin işareti “+”dan “-”ye değişirse bu maksimumdur; Minimum "-" ile "+" arası.
Türev tablosu
Temel formüller, yukarıdaki dökümde kullanılanlarla aynıdır. C bir sabittir, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Farklılaşma kuralları
Bir toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir: (u + v)′ = u′ + v′. Dışarıdan sabit bir faktör alınır: (C·u)′ = C·u′.
Çarpım kuralı: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Bölüm kuralı: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
Bileşik fonksiyon için zincir kuralı: önce dış fonksiyonun türevini alın, ardından içteki fonksiyonun türeviyle çarpın. Örneğin, (sin 2x)' = cos(2x)·2.