Похідна — з детальною розбивкою кожного кроку та графіком
Функція f(x)
Похідна
Як розраховували — крок за кроком
Кожен крок називає правило, яке було застосовано, і показує, що було замінено, тому рішення можна скопіювати у свій блокнот.
Графік функції та її похідної
Синя крива — функція f(x), помаранчева — похідна f′(x). Зелений фон: f′(x) > 0 і функція зростає. Червоний фон: f′(x) < 0 і функція спадна. На графіку позначені точки, в яких похідна дорівнює нулю — це екстремуми (піки і спади).
Що таке похідна — три значення
Геометричний зміст
Похідна f′(x₀) — це нахил дотичної до графіка в точці x₀, тобто тангенс її кута нахилу. Велика похідна означає крутий підйом, від'ємна - спуск, нуль означає, що дотична горизонтальна (вершина або долина). Саме тому знак похідної вказує, зростає чи спадає функція.
Фізичний зміст
Якщо функція описує положення тіла як функцію часу s(t), то похідна s′(t) є миттєвою швидкістю, а друга похідна s″(t) є прискоренням. Загалом похідна — це швидкість зміни величини: як швидко змінюється y зі зміною x. Це початкове значення, для якого Ньютон ввів похідну.
Алгебраїчний зміст
Формально похідна є межею відношення приростів: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h при h → 0. Ми робимо маленький крок h, дивимося, наскільки змінилася функція, і ділимо на довжину кроку. Коли крок наближається до нуля, співвідношення наближається до точної швидкості зміни в точці.
Похідна та екстремуми
У точках максимуму та мінімуму дотична горизонтальна, тому похідна там дорівнює нулю. Це основний прийом для знаходження найбільшого та найменшого значень: встановити похідну до нуля та знайти корені. Якщо при переході через таку точку похідна змінює знак з «+» на «−», то це максимум; від «-» до «+», мінімум.
Таблиця похідних
Основні формули — ті самі, що використані в розбивці вище. C — константа, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Правила диференціації
Похідна від суми дорівнює сумі похідних: (u + v)′ = u′ + v′. Постійний множник винесено назовні: (C·u)′ = C·u′.
Правило добутку: (u·v)′ = u′·v + u·v′. Правило частки: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
Правило ланцюга для складеної функції: спочатку диференціювати зовнішню функцію, а потім помножити на похідну внутрішньої. Наприклад, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.