Первісна — з докладним розбором кожного кроку та графіком
Функція f(x)
Антипохідна
Першопохідна F(x) — це функція, похідна якої повертає оригінал: F′(x) = f(x). Будь-яку константу C можна додати до першопохідної, тому її завжди записують.
Як розраховували — крок за кроком
Кожен крок називає використану техніку та показує заміну, тож рішення можна скопіювати у свій блокнот.
Графік функції та її першопохідна
Синя крива — функція f(x), помаранчева — першопохідна F(x). Перевірте посилання: де f(x) додатне, першопохідна зростає; де f(x) від'ємне, воно зменшується; де f(x) = 0, першопохідна має пік або спад. Це саме обернена залежність порівняно з похідною.
Таблиця першопохідних
Основні формули. C — довільна константа. Будь-який рядок легко перевірити: виділіть правий стовпець і отримаєте лівий.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Визначений інтеграл — площа під графіком → · Обернена операція — похідна →
📚 Теорія: методи інтеграції
Інтегрування — це операція, обернена до диференціювання. Знайти першопохідну F для f означає вибрати функцію, похідна якої дорівнює f. Перевірка завжди однакова: диференціювати відповідь.
Лінійність: інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів, постійний множник вилучається за межі. Лінійна підстановка: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — коли лінійний вираз стоїть під інтегралом замість x.
Інтегрування частинами: ∫u dv = u·v − ∫v du. Його застосовують до таких продуктів, як x·eˣ або x·sin x. Не кожен інтеграл можна виразити через елементарні функції — наприклад, ∫e^(−x²) dx не має замкнутої формули, і це нормально.