Визначений інтеграл — площа під графіком із формулою Ньютона–Лейбніца
Функція f(x)
Значення інтеграла
Визначений інтеграл ∫ f(x) dx від a до b є площею між графіком і віссю X на інтервалі [a; b]. Частини під віссю відраховуються зі знаком мінус.
Формула Ньютона–Лейбніца
Основна формула інтегрального числення зв’язує визначений інтеграл із першою: ∫ f(x) dx від a до b = F(b) − F(a), де F будь-яка першопохідна f. Отже, площу можна знайти без сум і обмежень: просто візьміть першопохідну та підставте межі.
📚 Теорія: що таке інтеграл
Визначений інтеграл ∫ₐᵇ f(x) dx — це площа фігури між графіком f(x) і віссю X на інтервалі від a до b. Уявіть фігуру, розрізану на тисячі вузьких вертикальних смужок: площа кожної ≈ f(x)·(ширина), а інтеграл є сумою всіх смужок, оскільки нарізка стає нескінченно тонкою.
Фізичне значення: якщо f(x) — це швидкість, інтеграл — це загальна пройдена відстань; якщо f(x) є потужністю, інтеграл є енергією. Інтеграл накопичує величину, швидкість якої задана підінтегральним виразом.
Знак площі: частини графіка під віссю X мають негативний внесок. Ось чому, наприклад, ∫ sin x dx за повний період дорівнює нулю: площа вгорі компенсує площу внизу.