مشتق — ہر قدم اور گراف کی تفصیلی خرابی کے ساتھ

نیلے رنگ کا منحنی فنکشن f(x) ہے، نارنجی رنگ مشتق f′(x) ہے۔ سبز پس منظر: f′(x) > 0 اور فنکشن بڑھ رہا ہے۔ سرخ پس منظر: f′(x) <0 اور فنکشن کم ہو رہا ہے۔ وہ پوائنٹس جہاں ماخوذ صفر کے برابر ہوتا ہے گراف پر نشان لگا دیا جاتا ہے — یہ ایکسٹریما (چوٹیوں اور وادیاں) ہیں۔

ہندسی معنی

مشتق f′(x₀) نقطہ x₀ پر گراف کی مماس لکیر کی ڈھلوان ہے، یعنی اس کے جھکاؤ کے زاویہ کا مماس۔ بڑے مشتق کا مطلب ہے تیز اضافہ، منفی کا مطلب ہے نزول، صفر کا مطلب ہے ٹینجنٹ افقی ہے (ایک چوٹی یا وادی)۔ یہی وجہ ہے کہ مشتق کا نشان آپ کو بتاتا ہے کہ فنکشن بڑھ رہا ہے یا کم ہو رہا ہے۔

جسمانی معنی

اگر کوئی فنکشن کسی جسم کی پوزیشن کو وقت s(t) کے فعل کے طور پر بیان کرتا ہے، تو مشتق s′(t) فوری رفتار ہے، اور دوسرا مشتق s″(t) ہے سرعت۔ عام طور پر مشتق ایک مقدار کی تبدیلی کی شرح ہے: x کی تبدیلی کے ساتھ y کتنی تیزی سے تبدیل ہوتا ہے۔ یہ اصل معنی ہے جس کے لیے نیوٹن نے مشتق کو متعارف کرایا۔

الجبری معنی

باضابطہ طور پر مشتق اضافے کے تناسب کی حد ہے: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h بطور h → 0۔ ہم ایک چھوٹا سا مرحلہ h لیتے ہیں، دیکھتے ہیں کہ فنکشن کتنا بدلا ہے، اور مرحلہ کی لمبائی سے تقسیم کرتے ہیں۔ جیسے جیسے قدم صفر کے قریب آتا ہے، تناسب نقطہ پر تبدیلی کی درست شرح تک پہنچ جاتا ہے۔

مشتق اور انتہا

زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم پوائنٹس پر ٹینجنٹ افقی ہے، لہذا وہاں مشتق صفر کے برابر ہے۔ یہ سب سے بڑی اور چھوٹی قدروں کو تلاش کرنے کی بنیادی تکنیک ہے: مشتق کو صفر پر سیٹ کریں اور جڑیں تلاش کریں۔ اگر، ایسے نقطہ سے گزرتے وقت، مشتق تبدیلیوں کا نشان "+" سے "−" ہوتا ہے، تو یہ زیادہ سے زیادہ ہے۔ "-" سے "+" تک، کم از کم۔

بنیادی فارمولے — وہی جو اوپر کی خرابی میں استعمال ہوئے ہیں۔ C ایک مستقل ہے، a > 0۔

الٹا آپریشن — اینٹی ڈیریویٹوز اور انٹیگرلز →