غیر معین انٹیگرل (اینٹی ڈیریویٹیو) — ہر قدم اور گراف کی تفصیلی وضاحت کے ساتھ
فنکشن f(x)
اینٹی ڈیریویٹیو
اینٹی ڈیریویٹیو F(x) وہ فنکشن ہے جس کا مشتق اصل فنکشن دیتا ہے: F′(x) = f(x)۔ اینٹی ڈیریویٹیو میں مستقل C شامل کیا جاتا ہے، اسی لیے ہمیشہ "+ C" لکھتے ہیں۔
اس کا حساب کیسے لگایا گیا — قدم بہ قدم
ہر قدم استعمال شدہ تکنیک کا نام دیتا ہے اور متبادل کو ظاہر کرتا ہے، لہذا حل کو آپ کی نوٹ بک میں کاپی کیا جا سکتا ہے۔
فنکشن اور اس کے اینٹی ڈیریویٹیو کا گراف
نیلا خط فنکشن f(x) ہے، نارنجی خط اینٹی ڈیریویٹیو F(x) ہے۔ جہاں f(x) مثبت ہے اینٹی ڈیریویٹیو بڑھتا ہے؛ جہاں منفی ہے وہاں کم ہوتا ہے۔
اینٹی ڈیریویٹوز کا جدول
بنیادی فارمولے۔ C ایک صوابدیدی مستقل ہے۔ کسی بھی قطار کی توثیق کرنا آسان ہے: دائیں کالم میں فرق کریں اور آپ کو بائیں والی ملے گی۔
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
ڈیفینیٹ انٹیگرل — گراف کے نیچے کا علاقہ → · الٹا عمل — مشتق →
📚 تھیوری: انضمام کی تکنیک
انٹیگریشن تفریق کا الٹا آپریشن ہے۔ f کے لیے اینٹی ڈیریویٹیو F تلاش کرنے کا مطلب ہے ایک ایسا فنکشن چننا جس کا مشتق f برابر ہو۔ چیک ہمیشہ ایک جیسا ہوتا ہے: جواب میں فرق کریں۔
لائنریٹی: ایک رقم کا انٹیگرل انٹیگرلز کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے، ایک مستقل عنصر کو باہر لیا جاتا ہے۔ لکیری متبادل: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — جب ایک لکیری اظہار x کے بجائے انٹیگرل کے نیچے کھڑا ہوتا ہے۔
حصوں کے لحاظ سے انضمام: ∫u dv = u·v − ∫v du۔ یہ x·eˣ یا x·sin x جیسی مصنوعات پر لاگو ہوتا ہے۔ ہر انٹیگرل کا اظہار ابتدائی افعال کے ذریعے نہیں کیا جا سکتا ہے — مثال کے طور پر، ∫e^(−x²) dx کا کوئی بند فارمولا نہیں ہے، اور یہ معمول ہے۔
کیا یہ مفت ہے؟
جی ہاں، بالکل مفت اور بغیر رجسٹریشن کے۔ یہ ٹول مکمل طور پر آپ کے براؤزر میں چلتا ہے: فائل کبھی سرور تک نہیں جاتی، اس لیے سرور نہ پروسیسر خرچ کرتا ہے نہ ڈیٹا — پیسے لینے کی کوئی وجہ ہی نہیں۔ کوئی واٹر مارک نہیں، فائل کے حجم یا تعداد کی کوئی حد بھی نہیں۔