Antiderivative — ہر قدم اور گراف کے تفصیلی بریک ڈاؤن کے ساتھ
فنکشن f(x)
اینٹی ڈیریویٹیو
antiderivative F(x) ایک فنکشن ہے جس کا مشتق اصل واپس دیتا ہے: F′(x) = f(x)۔ کسی بھی مستقل C کو اینٹی ڈیریویٹیو میں شامل کیا جا سکتا ہے، یہی وجہ ہے کہ یہ ہمیشہ لکھا جاتا ہے۔
اس کا حساب کیسے لگایا گیا — قدم بہ قدم
ہر قدم استعمال شدہ تکنیک کا نام دیتا ہے اور متبادل کو ظاہر کرتا ہے، لہذا حل کو آپ کی نوٹ بک میں کاپی کیا جا سکتا ہے۔
فنکشن اور اس کے اینٹی ڈیریویٹیو کا گراف
نیلے رنگ کا منحنی فنکشن f(x) ہے، اورینج ایک اینٹی ڈیریویٹیو F(x) ہے۔ لنک چیک کریں: جہاں f(x) مثبت ہے اینٹی ڈیریویٹیو بڑھتا ہے۔ جہاں f(x) منفی ہے وہ کم ہو جاتا ہے۔ جہاں f(x) = 0 antiderivative کی چوٹی یا وادی ہوتی ہے۔ مشتق کے مقابلے میں یہ بالکل الٹا تعلق ہے۔
اینٹی ڈیریویٹوز کا جدول
بنیادی فارمولے۔ C ایک صوابدیدی مستقل ہے۔ کسی بھی قطار کی توثیق کرنا آسان ہے: دائیں کالم میں فرق کریں اور آپ کو بائیں والی ملے گی۔
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
ڈیفینیٹ انٹیگرل — گراف کے نیچے کا علاقہ → · الٹا عمل — مشتق →
📚 تھیوری: انضمام کی تکنیک
انٹیگریشن تفریق کا الٹا آپریشن ہے۔ f کے لیے اینٹی ڈیریویٹیو F تلاش کرنے کا مطلب ہے ایک ایسا فنکشن چننا جس کا مشتق f برابر ہو۔ چیک ہمیشہ ایک جیسا ہوتا ہے: جواب میں فرق کریں۔
لائنریٹی: ایک رقم کا انٹیگرل انٹیگرلز کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے، ایک مستقل عنصر کو باہر لیا جاتا ہے۔ لکیری متبادل: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — جب ایک لکیری اظہار x کے بجائے انٹیگرل کے نیچے کھڑا ہوتا ہے۔
حصوں کے لحاظ سے انضمام: ∫u dv = u·v − ∫v du۔ یہ x·eˣ یا x·sin x جیسی مصنوعات پر لاگو ہوتا ہے۔ ہر انٹیگرل کا اظہار ابتدائی افعال کے ذریعے نہیں کیا جا سکتا ہے — مثال کے طور پر، ∫e^(−x²) dx کا کوئی بند فارمولا نہیں ہے، اور یہ معمول ہے۔