ڈیفینیٹ انٹیگرل — نیوٹن – لیبنز فارمولے کے ساتھ گراف کے نیچے کا رقبہ
فنکشن f(x)
انٹیگرل کی قدر
قطعی انٹیگرل ∫ f(x) dx a سے b تک گراف اور X محور کے درمیان وقفہ [a; ب]۔ محور کے نیچے والے حصے کو مائنس کے نشان کے ساتھ شمار کیا جاتا ہے۔
نیوٹن-لائبنز فارمولا
انٹیگرل کیلکولس کا بنیادی فارمولا قطعی انٹیگرل کو اینٹی ڈیریویٹیو سے جوڑتا ہے: ∫ f(x) dx سے a سے b = F(b) − F(a)، جہاں F، f کا کوئی بھی اینٹی ڈیریویٹیو ہے۔ لہذا رقبہ رقم اور حدود کے بغیر پایا جا سکتا ہے: صرف اینٹی ڈیریویٹیو لیں اور حدود کو تبدیل کریں۔
📚 نظریہ: کیا ایک لازمی ہے
یقینی انٹیگرل ∫ₐᵇ f(x) dx ایک سے b کے وقفے پر f(x) کے گراف اور X محور کے درمیان کے اعداد و شمار کا رقبہ ہے۔ ہزاروں تنگ عمودی پٹیوں میں کٹے ہوئے اعداد و شمار کا تصور کریں: ہر ایک ≈ f(x)·(چوڑائی) کا رقبہ، اور انٹیگرل تمام پٹیوں کا مجموعہ ہے کیونکہ سلائسنگ لامحدود طور پر پتلی ہو جاتی ہے۔
طبعی معنی: اگر f(x) رفتار ہے، تو انٹیگرل کل فاصلہ طے کیا گیا ہے۔ اگر f(x) طاقت ہے، تو انضمام توانائی ہے۔ انٹیگرل ایک مقدار کو جمع کرتا ہے جس کی شرح انٹیگرینڈ کے ذریعہ دی جاتی ہے۔
علاقے کا نشان: X محور کے نیچے گراف کے حصے منفی طور پر حصہ ڈالتے ہیں۔ اس لیے، مثال کے طور پر، ∫ sin x dx ایک پوری مدت میں صفر کے برابر ہے: اوپر والا رقبہ نیچے والے حصے کو منسوخ کر دیتا ہے۔