Hosil - har bir qadamning batafsil taqsimoti va grafik bilan
f(x) funksiyasi
Hosil
Bu qanday hisoblangan - bosqichma-bosqich
Har bir qadam qo'llanilgan qoidani nomlaydi va nima almashtirilganini ko'rsatadi, shuning uchun yechimni daftaringizga ko'chirish mumkin.
Funksiya grafigi va uning hosilasi
Moviy egri chiziq f(x) funksiya, to'q sariq rang esa f'(x) hosilasidir. Yashil fon: f′(x) > 0 va funksiya ortib bormoqda. Qizil fon: f′(x) < 0 va funksiya kamaymoqda. Grafikda lotin nolga teng bo'lgan nuqtalar belgilangan - bu ekstremal (cho'qqilar va vodiylar).
Hosila nima - uchta ma'no
Geometrik ma'no
F'(x₀) hosilasi - x₀ nuqtadagi grafikga tangens chiziqning qiyaligi, ya'ni uning moyillik burchagi tangensi. Katta lotin - keskin ko'tarilish, salbiy - pastga tushish, nol - teginish gorizontal (cho'qqi yoki vodiy) degan ma'noni anglatadi. Aynan shuning uchun hosilaning belgisi sizga funktsiyaning ortib borayotganini yoki kamayishini bildiradi.
Jismoniy ma'nosi
Agar funktsiya tananing o'rnini s(t) vaqt funksiyasi sifatida tasvirlasa, u holda s'(t) hosilasi lahzali tezlikga, ikkinchi hosila s″(t) esa tezlanishga teng. Umuman, hosila miqdorning o'zgarish tezligidir: x o'zgarishi bilan y qanchalik tez o'zgaradi. Bu Nyuton lotinni kiritgan asl ma'nodir.
Algebraik ma'nosi
Rasmiy ravishda lotin o'sish nisbati chegarasidir: f'(x) = lim (f(x+h) - f(x)) / h sifatida h → 0. Biz kichik bir qadamni olamiz h, funktsiya qanchalik o'zgarganini ko'rib chiqamiz va qadam uzunligiga bo'linadi. Qadam nolga yaqinlashganda, nisbat nuqtadagi aniq o'zgarish tezligiga yaqinlashadi.
Hosil va ekstremal
Maksimal va minimal nuqtalarda tangens gorizontal bo'ladi, shuning uchunu erda hosila nolga teng. Bu eng katta va eng kichik qiymatlarni topishning asosiy usuli: lotinni nolga qo'ying va ildizlarni toping. Agar shunday nuqtadan o'tayotganda hosila belgisini "+" dan "-" ga o'zgartirsa, bu maksimal; "-" dan "+" gacha, minimal.
Hosilalar jadvali
Asosiy formulalar - yuqoridagi parchalanishda ishlatiladigan bir xil. C doimiy, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Farqlash qoidalari
yig'indining hosilasi hosilalari yig'indisiga teng: (u + v)' = u' + v'. Doimiy omil tashqarida olinadi: (Cu)' = Cu'.
Mahsulot qoidasi: (u·v)' = u'v + uv'. Kitser qoidasi: (u/v)' = (u'·v - u·v') / v².
Kompozit funksiya uchun zanjir qoidasi: avval tashqi funktsiyani farqlang, so'ngra ichki funktsiyaning hosilasiga ko'paytiring. Masalan, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.