Antiderivativ - har bir qadamning batafsil taqsimoti va grafik bilan
f(x) funksiyasi
Antiderivativ
Anti hosila F(x) bu funksiya bo‘lib, hosilasi aslini qaytaradi: F′(x) = f(x). Antiderivativga har qanday doimiy C qo'shilishi mumkin, shuning uchun u doimo yoziladi.
Bu qanday hisoblangan - bosqichma-bosqich
Har bir qadam ishlatiladigan texnikani nomlaydi va almashtirishni ko'rsatadi, shuning uchun yechimni daftaringizga nusxalash mumkin.
Funksiya grafigi va uning antiderivativi
Moviy egri chiziq f(x) funksiya, to'q sariq rang esa F(x) ga qarshi hosiladir. Havolani tekshiring: f(x) musbat bo'lgan joyda antiderivativ ortadi; f(x) manfiy bo'lgan joyda u kamayadi; f(x) = 0 bo'lsa, antiderivativ cho'qqiga yoki vodiyga ega. Bu hosila bilan solishtirganda aynan teskari munosabatdir.
Antiderivativlar jadvali
Asosiy formulalar. C ixtiyoriy doimiydir. Har qanday qatorni tekshirish oson: o'ng ustunni farqlang va siz chap ustunni olasiz.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Aniq integral — grafik ostidagi maydon → · Teskari amal — hosila →
📚 Nazariya: integratsiya texnikasi
Integratsiya - bu differentsiatsiyaga teskari operatsiya. F uchun antiderivativni topish, hosilasi f ga teng bo'lgan funktsiyani tanlashni anglatadi. Tekshirish har doim bir xil: javobni farqlang.
Lineerlik: yig'indining integrali integrallar yig'indisiga teng, doimiy omil tashqarida olinadi. Chiziqli almashtirish: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — chiziqli ifoda x oʻrniga integral ostida turganda.
Qismlar bo'yicha integratsiya: ∫u dv = u·v - ∫v du. U x·eˣ yoki x·sin x kabi mahsulotlarga qo'llaniladi. Har bir integralni elementar funksiyalar orqali ifodalash mumkin emas - masalan, ∫e^(−x²) dx yopiq formulaga ega emas va bu normaldir.