Đạo hàm - với bảng phân tích chi tiết từng bước và biểu đồ

Đường cong màu xanh là hàm f(x), đường màu cam là đạo hàm f′(x). Nền xanh: f′(x) > 0 và hàm số đang tăng. Nền đỏ: f′(x) < 0 và hàm số đang giảm. Các điểm có đạo hàm bằng 0 được đánh dấu trên biểu đồ - đây là các điểm cực trị (đỉnh và đáy).

Ý nghĩa hình học

Đạo hàm f′(x₀) là độ dốc của đường tiếp tuyến với đồ thị tại điểm x₀, tức là tiếp tuyến của góc nghiêng của nó. Đạo hàm lớn có nghĩa là tăng dốc, âm có nghĩa là đi xuống, 0 có nghĩa là tiếp tuyến nằm ngang (đỉnh hoặc thung lũng). Đó chính xác là lý do tại sao dấu của đạo hàm cho bạn biết hàm số đang tăng hay giảm.

Ý nghĩa vật lý

Nếu một hàm mô tả vị trí của một vật là hàm theo thời gian s(t), thì đạo hàm s′(t) là vận tốc tức thời và đạo hàm bậc hai s″(t) là gia tốc. Nói chung đạo hàm là tốc độ thay đổi của một đại lượng: y thay đổi nhanh như thế nào khi x thay đổi. Đây là ý nghĩa ban đầu mà Newton đã đưa ra đạo hàm.

ý nghĩa đại số

Về mặt hình thức, đạo hàm là giới hạn của tỷ lệ số gia: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h khi h → 0. Chúng ta thực hiện một bước nhỏ h, xem hàm số đã thay đổi bao nhiêu và chia cho độ dài của bước. Khi bước tiến tới 0, tỷ lệ sẽ tiến tới tốc độ thay đổi chính xác tại điểm đó.

Đạo hàm và cực trị

Tại điểm cực đại và cực tiểu, tiếp tuyến nằm ngang, do đó đạo hàm ở đó bằng 0. Đây là kỹ thuật chính để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: đặt đạo hàm về 0 và tìm nghiệm. Nếu khi đi qua một điểm như vậy, đạo hàm đổi dấu từ “+” thành “−” thì đó là điểm cực đại; từ “-” đến “+”, mức tối thiểu.

Các công thức cốt lõi - những công thức tương tự được sử dụng trong phần phân tích ở trên. C là hằng số, a > 0.

Phép toán nghịch đảo - nguyên hàm và tích phân →