Nguyên hàm - với bảng phân tích chi tiết từng bước và biểu đồ
Hàm f(x)
phản đạo hàm
Nguyên hàm F(x) là một hàm số có đạo hàm cho kết quả ban đầu: F′(x) = f(x). Bất kỳ hằng số C nào cũng có thể được cộng vào một nguyên hàm, đó là lý do tại sao nó luôn được viết.
Cách tính toán - từng bước
Mỗi bước nêu tên kỹ thuật được sử dụng và hiển thị sự thay thế, do đó, giải pháp có thể được sao chép vào sổ tay của bạn.
Đồ thị của hàm số và nguyên hàm của nó
Đường cong màu xanh là hàm f(x), đường màu cam là nguyên hàm F(x). Kiểm tra liên kết: trong đó f(x) dương thì nguyên hàm tăng; trong đó f(x) âm thì nó giảm; trong đó f(x) = 0 nguyên hàm có đỉnh hoặc đáy. Đây chính xác là mối quan hệ nghịch đảo so với đạo hàm.
Bảng phản dẫn xuất
Các công thức cốt lõi. C là hằng số tùy ý. Bất kỳ hàng nào cũng dễ dàng xác minh: phân biệt cột bên phải và bạn nhận được cột bên trái.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Tích phân xác định — diện tích bên dưới đồ thị → · Phép toán nghịch đảo — đạo hàm →
📚 Lý thuyết: kỹ thuật tích hợp
Tích phân là phép toán nghịch đảo với đạo hàm. Để tìm nguyên hàm F cho f có nghĩa là chọn một hàm có đạo hàm bằng f. Việc kiểm tra luôn giống nhau: phân biệt câu trả lời.
Tính tuyến tính: tích phân của một tổng bằng tổng của các tích phân, hệ số không đổi được lấy ra ngoài. Sự thay thế tuyến tính: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — khi một biểu thức tuyến tính đứng dưới tích phân thay vì x.
Tích phân từng phần: ∫u dv = u·v − ∫v du. Nó được áp dụng cho các sản phẩm như x·eˣ hoặc x·sin x. Không phải mọi tích phân đều có thể được biểu diễn thông qua các hàm cơ bản — ví dụ: ∫e^(−x²) dx không có công thức đóng và điều đó là bình thường.