Tích phân xác định — diện tích bên dưới đồ thị với công thức Newton–Leibniz
Hàm f(x)
Giá trị của tích phân
Tích phân xác định ∫ f(x) dx từ a đến b là diện tích giữa đồ thị và trục X trong khoảng [a; b]. Các phần phía dưới trục được tính bằng dấu trừ.
Công thức Newton–Leibniz
Công thức chính của phép tính tích phân liên kết tích phân xác định với nguyên hàm: ∫ f(x) dx từ a đến b = F(b) − F(a), trong đó F là nguyên hàm bất kỳ của f. Vì vậy, diện tích có thể được tìm thấy mà không cần tính tổng và giới hạn: chỉ cần lấy nguyên hàm và thay thế các giới hạn.
📚 Lý thuyết: tích phân là gì
Tích phân xác định ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích của hình nằm giữa đồ thị f(x) và trục X trong khoảng từ a đến b. Hãy tưởng tượng hình được cắt thành hàng nghìn dải dọc hẹp: diện tích của mỗi dải ≈ f(x)·(chiều rộng) và tích phân là tổng của tất cả các dải khi lát cắt trở nên mỏng vô hạn.
Ý nghĩa vật lý: nếu f(x) là vận tốc thì tích phân là tổng quãng đường đi được; nếu f(x) là lũy thừa thì tích phân là năng lượng. Tích phân tích lũy một đại lượng có tỷ lệ được cho bởi tích phân.
Dấu diện tích: các phần của đồ thị bên dưới trục X đóng góp tiêu cực. Đó là lý do tại sao, chẳng hạn, ∫ sin x dx trong một khoảng thời gian đầy đủ bằng 0: diện tích bên trên triệt tiêu diện tích bên dưới.