导数——包含每一步的详细分解和图表

函数 f(x)

插入到公式中：
尝试：

衍生物

f′(x) =
f″(x) =
如何计算——一步一步

每个步骤都会命名所应用的规则并显示替换的内容，因此可以将解决方案复制到您的笔记本中。

函数及其导数的图形

蓝色曲线是函数 f(x)，橙色曲线是导数 f′(x)。绿色背景：f′(x) > 0 并且函数递增。红色背景：f′(x) < 0，函数递减。导数为零的点被标记在图表上——这些点是极值（峰值和谷值）。

什么是导数——三个含义

几何意义

导数f'(x₀)是图形在点x₀处的切线斜率，即其倾斜角的正切。大导数意味着急剧上升，负值意味着下降，零意味着切线是水平的（峰或谷）。这正是为什么导数的符号告诉您函数是递增还是递减的原因。

物理意义

如果函数将物体的位置描述为时间 s(t) 的函数，则导数 s'(t) 是瞬时速度，二阶导数 s”(t) 是加速度。一般来说，导数是一个量的变化率：y 随着 x 的变化而变化的速度。这就是牛顿引入导数的最初意义。

代数意义

形式上，导数是增量比率的极限：f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h as h → 0。我们迈出一小步 h，看看函数改变了多少，然后除以步长。当步长接近零时，比率接近该点的准确变化率。

导数和极值

在最大点和最小点处，切线是水平的，因此那里的导数等于零。这是求最大值和最小值的主要技术：将导数设置为零并求根。如果经过该点时，导数由“+”变为“-”，则为最大值；至少从“-”到“+”。

衍生品表

核心公式——与上面分解中使用的公式相同。 C是常数，a>0。

f(x) f′(x)
C 0
xⁿ n·xⁿ⁻¹
1/x −1/x²
√x 1/(2√x)
eˣ eˣ
aˣ aˣ·ln a
ln x 1/x
loga x 1/(x·ln a)
sin x cos x
cos x −sin x
tg x 1/cos²x
ctg x −1/sin²x
arcsin x 1/√(1 − x²)
arccos x −1/√(1 − x²)
arctg x 1/(1 + x²)

逆运算 — 反导数和积分 →

📚 微分规则

总和的导数等于导数之和：(u + v)′ = u′ + v′。外取常数因子：(C·u)′ = C·u′。

乘积法则： (u·v)′ = u′·v + u·v′。 商规则： (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v²。

复合函数的链式法则：首先对外部函数求导，然后乘以内部函数的导数。例如，(sin 2x)′ = cos(2x)·2。