反导数——每个步骤的详细分解和图表

函数 f(x)

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反导数

反导数 F(x) 是一个函数，其导数返回原函数：F′(x) = f(x)。任何常数 C 都可以添加到反导数中，这就是为什么总是写它。

∫f(x) dx =
如何计算——一步一步

每个步骤都会命名所使用的技术并显示替换，因此可以将解决方案复制到您的笔记本中。

函数及其反导数的图

蓝色曲线是函数 f(x)，橙色曲线是反导数 F(x)。检查链接：当 f(x) 为正时，反导数增加；当 f(x) 为负数时，它会减小；其中 f(x) = 0 反导数有峰或谷。与导数相比，这正是反比关系。

反衍生品表

核心公式。 C是任意常数。任何行都很容易验证：区分右列，即可得到左列。

f(x) ∫f(x) dx
0 C
1 x + C
xⁿ, n ≠ −1 xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
1/x ln|x| + C
eˣ eˣ + C
aˣ aˣ/ln a + C
sin x −cos x + C
cos x sin x + C
1/cos²x tg x + C
1/sin²x −ctg x + C
1/(1 + x²) arctg x + C
1/√(1 − x²) arcsin x + C

定积分 — 图形下方的面积 → · 逆运算——导数 →

📚 理论：集成技术

积分是微分的逆运算。找到f的反导数F意味着选择一个导数等于f的函数。检查总是相同的：区分答案。

线性：总和的积分等于积分之和，外取一个常数因子。 线性替换： ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — 当线性表达式位于积分下方而不是 x 时。

分部积分： ∫u dv = u·v − ∫v du。它适用于 x·eˣ 或 x·sin x 等乘积。并非所有积分都可以通过初等函数来表示，例如 ∫e^(−x²) dx 没有闭合公式，这是正常的。