Ածանցյալ - յուրաքանչյուր քայլի մանրամասն բաժանումով և գրաֆիկով
f(x) ֆունկցիա
Ածանցյալ
Ինչպես է այն հաշվարկվել՝ քայլ առ քայլ
Յուրաքանչյուր քայլ անվանում է այն կանոնը, որը կիրառվել է և ցույց է տալիս, թե ինչն է փոխարինվել, այնպես որ լուծումը կարող է պատճենվել ձեր նոթատետրում:
Ֆունկցիայի և դրա ածանցյալի գրաֆիկը
Կապույտ կորը f(x) ֆունկցիան է, նարնջագույնը՝ f′(x) ածանցյալը։ Կանաչ ֆոն՝ f′(x) > 0 և ֆունկցիան մեծանում է: Կարմիր ֆոն՝ f′(x) < 0 և ֆունկցիան նվազում է: Գրաֆիկի վրա նշված են այն կետերը, որտեղ ածանցյալը հավասար է զրոյի, դրանք ծայրահեղություններն են (գագաթներ և հովիտներ):
Ինչ է ածանցյալը - երեք իմաստ
Երկրաչափական իմաստ
f′(x₀) ածանցյալը շոշափող գծի թեքությունն է դեպի գրաֆիկը x₀ կետում, այսինքն՝ նրա թեքության անկյան շոշափողը։ Մեծ ածանցյալը նշանակում է կտրուկ վերելք, բացասականը նշանակում է վայրէջք, զրո նշանակում է շոշափող հորիզոնական (գագաթ կամ հովիտ): Հենց դա է պատճառը, որ ածանցյալի նշանը ցույց է տալիս ֆունկցիան մեծանում է, թե նվազում։
Ֆիզիկական իմաստ
Եթե ֆունկցիան նկարագրում է մարմնի դիրքը որպես s(t) ժամանակի ֆունկցիա, ապա s′(t) ածանցյալը ակնթարթային արագությունն է, իսկ երկրորդ ածանցյալը s″(t) արագացումը է: Ընդհանուր առմամբ, ածանցյալը մեծության փոփոխության արագությունն է. որքան արագ է փոխվում y-ը, երբ x-ը փոխվում է: Սա է սկզբնական իմաստը, որի համար Նյուտոնը ներմուծեց ածանցյալը:
Հանրահաշվական իմաստ
Ֆորմալ առումով ածանցյալը հավելումների հարաբերակցության սահմանն է. f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h որպես h → 0: Մենք անում ենք մի փոքրիկ քայլ h, տեսնում ենք, թե որքան է փոխվել ֆունկցիան և բաժանում ենք քայլի երկարության վրա: Քանի որ քայլը մոտենում է զրոյին, հարաբերակցությունը մոտենում է կետի փոփոխության ճշգրիտ արագությանը:
Ածանցյալը և ծայրահեղությունը
Առավելագույն և նվազագույն կետերում շոշափողը հորիզոնական է, ուստի ածանցյալն այնտեղ հավասար է զրոյի: Սա ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները գտնելու հիմնական տեխնիկան է՝ ածանցյալը զրո դնել և գտնել արմատները: Եթե նման կետով անցնելիս ածանցյալը նշանը փոխում է «+»-ից «−»-ի, ապա դա առավելագույնն է. «−»-ից մինչև «+», նվազագույնը:
Ածանցյալների աղյուսակ
Հիմնական բանաձևերը. նույն բանաձևերն են, որոնք օգտագործվում են վերը նշված տարանջատման մեջ: C-ն հաստատուն է, a > 0:
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Տարբերակման կանոններ
գումարի ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին` (u + v)′ = u′ + v′: Դրսում վերցվում է հաստատուն գործակից՝ (C·u)′ = C·u′:
Ապրանքի կանոն. (u·v)′ = u′·v + u·v′: Քանորդի կանոն՝ (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v²:
շղթայի կանոնը կոմպոզիտային ֆունկցիայի համար. նախ տարբերակեք արտաքին ֆունկցիան, այնուհետև բազմապատկեք ներքինի ածանցյալով: Օրինակ՝ (sin 2x)′ = cos(2x)·2: