Հակաածանցյալ - յուրաքանչյուր քայլի մանրամասն նկարագրությամբ և գրաֆիկով
f(x) ֆունկցիա
Հակաածանցյալ
F(x) հակաածանցյալը ֆունկցիա է, որի ածանցյալը վերադարձնում է բնօրինակը՝ F′(x) = f(x): Ցանկացած հաստատուն C կարող է ավելացվել հակաածանցյալին, այդ իսկ պատճառով այն միշտ գրվում է։
Ինչպես է այն հաշվարկվել՝ քայլ առ քայլ
Յուրաքանչյուր քայլ անվանում է օգտագործված տեխնիկան և ցույց է տալիս փոխարինումը, այնպես որ լուծումը կարող է պատճենվել ձեր նոթատետրում:
Ֆունկցիայի և դրա հակաածանցյալի գրաֆիկը
Կապույտ կորը f(x) ֆունկցիան է, նարնջագույնը՝ հակաածանցյալը F(x): Ստուգեք հղումը. որտեղ f(x) դրական է, հակաածանցյալը մեծանում է; որտեղ f(x) բացասական է, այն նվազում է. որտեղ f(x) = 0 հակաածանցյալն ունի գագաթ կամ հովիտ: Սա հենց հակադարձ հարաբերությունն է ածանցյալի հետ համեմատած:
Հակածանցյալների աղյուսակ
Հիմնական բանաձևերը. C-ն կամայական հաստատուն է: Ցանկացած տող հեշտ է ստուգել. տարբերակեք աջ սյունակը և ստացեք ձախը:
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Որոշակի ինտեգրալ — գրաֆիկի տակ գտնվող տարածքը → · Հակադարձ գործողություն — ածանցյալ →
📚 Տեսություն. ինտեգրման տեխնիկա
Ինտեգրումը տարբերակման հակադարձ գործողությունն է: F-ի հակաածանցյալ գտնելը նշանակում է ընտրել ֆունկցիա, որի ածանցյալը հավասար է f: Չեկը միշտ նույնն է՝ տարբերակել պատասխանը։
Գծայինություն. գումարի ինտեգրալը հավասար է ինտեգրալների գումարին, հաստատուն գործակիցը դուրս է բերվում: Գծային փոխարինում. ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — երբ գծային արտահայտությունը գտնվում է ինտեգրալի տակ x-ի փոխարեն:
Ինտեգրումն ըստ մասերի՝ ∫u dv = u·v − ∫v du: Այն կիրառվում է այնպիսի ապրանքների վրա, ինչպիսիք են x·eˣ կամ x·sin x: Ամեն ինտեգրալ չէ, որ կարող է արտահայտվել տարրական ֆունկցիաների միջոցով, օրինակ՝ ∫e^(−x²) dx-ը փակ բանաձև չունի, և դա նորմալ է։