Туынды — әрбір қадамның егжей-тегжейлі бөлінуі және графигі бар
f(x) функциясы
Туынды
Ол қалай есептелді — кезең-кезеңімен
Әрбір қадам қолданылған ережені атайды және не ауыстырылғанын көрсетеді, сондықтан шешімді жазу кітапшаңызға көшіруге болады.
Функцияның графигі және оның туындысы
Көк қисық – f(x) функциясы, қызғылт сары – f′(x) туындысы. Жасыл фон: f′(x) > 0 және функция өсуде. Қызыл фон: f′(x) < 0 және функция кемуде. Туынды нөлге тең нүктелер графикте белгіленген — бұл экстремумдар (төбелер мен аңғарлар).
Туынды дегеніміз - үш мағына
Геометриялық мағынасы
f′(x₀) туындысы x₀ нүктесіндегі графиккетангенс сызығының еңісі, яғни оның көлбеу бұрышының тангенсі. Үлкен туынды - тік көтерілуді, теріс - түсуді, нөл - жанаманың көлденең екенін білдіреді (шың немесе аңғар). Дәл сол себепті туындының белгісі функцияның өсу немесе кему екенін көрсетеді.
Физикалық мағынасы
Егер функция дененің орнын s(t) уақыт функциясы ретінде сипаттайтын болса, онда s′(t) туындысы лездік жылдамдық, ал екінші туынды s″(t) - үдеу. Жалпы туынды шаманың өзгеру жылдамдығы: х өзгерген сайын у қаншалықты жылдам өзгереді. Бұл Ньютон туынды сөзді енгізген бастапқы мағына.
Алгебралық мағына
Формальды түрде туынды өсулер арақатынасының шегіболып табылады: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h ретінде h → 0. Біз h → 0 сияқты кішкентай қадам жасаймыз, функцияның қаншалықты өзгергенін көреміз және қадамның ұзындығына бөлеміз. Қадам нөлге жақындаған сайын қатынас нүктедегі нақты өзгеру жылдамдығына жақындайды.
Туынды және экстремум
Максималды және минималды нүктелерде жанама көлденең болады, сондықтан ондағы туынды нөлге тең. Бұл ең үлкен және ең кіші мәндерді табудың негізгі әдісі: туындыны нөлге қою және түбірлерді табу. Егер мұндай нүктеден өткенде туынды «+» белгісінен «−» таңбасына өзгерсе, бұл максимум; «−»-ден «+», минимумға дейін.
Туындылар кестесі
Негізгі формулалар - жоғарыда келтірілген бөлімде қолданылғандар. С – тұрақты, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Дифференциация ережелері
Қосындының туындысытуындылардың қосындысына тең: (u + v)′ = u′ + v′. Тұрақты фактор сырттан алынады: (Cu)′ = Cu′.
Өнім ережесі: (u·v)' = u'v + uv'. Бөлшек ережесі: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
Құрама функция үшін тізбек ережесі: алдымен сыртқы функцияны дифференциалдау, содан кейін ішкі функцияның туындысына көбейту. Мысалы, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.