Антитуынды — әрбір қадамның егжей-тегжейлі бөлінуі және графигі бар
f(x) функциясы
Антитуынды
Антитуынды F(x) – туындысы түпнұсқаны қайтаратын функция: F′(x) = f(x). Кез келген тұрақты С антитуындыға қосылуы мүмкін, сондықтан ол әрқашан жазылады.
Ол қалай есептелді — кезең-кезеңімен
Әрбір қадам қолданылатын әдісті атайды және ауыстыруды көрсетеді, сондықтан шешімді жазу кітапшасына көшіруге болады.
Функцияның графигі және оның антитуындысы
Көк қисық - f(x) функциясы, қызғылт сары - F(x) антитуынды. Сілтемені тексеріңіз: f(x) оң болғанда антитуынды өседі; f(x) теріс болса, ол төмендейді; Мұндағы f(x) = 0 антитуындының шыңы немесе аңғары бар. Туындымен салыстырғанда дәл осылай кері байланыс болады.
Антитуындылар кестесі
Негізгі формулалар. С – ерікті тұрақты. Кез келген жолды тексеру оңай: оң жақ бағанды ажыратып, сол жақ бағанды аласыз.
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tg x + C |
| 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/(1 + x²) | arctg x + C |
| 1/√(1 − x²) | arcsin x + C |
Анықталған интеграл — графиктің астындағы аудан → · Кері операция — туынды →
📚 Теория: интеграциялық әдістер
Интеграция - дифференциацияға кері операция. f үшін антитуынды F табу дегеніміз туындысы f-ке тең функцияны таңдауды білдіреді. Тексеру әрқашан бірдей: жауапты ажыратыңыз.
Сызықтық: қосындының интегралы интегралдардың қосындысына тең, тұрақты көбейткіш сырттан алынады. Сызықтық алмастыру: ∫f(kx + b) dx = F(kx + b)/k — сызықтық өрнек х орнына интегралдың астында тұрғанда.
Бөлшектері бойынша интеграция: ∫u dv = u·v − ∫v du. Ол x·eˣ немесе x·sin x сияқты өнімдерге қолданылады. Әрбір интегралды элементар функциялар арқылы өрнектеуге болмайды — мысалы, ∫e^(−x²) dx тұйық формуласы жоқ және бұл қалыпты жағдай.