Туунду — ар бир кадамдын деталдуу бөлүштүрүлүшү жана график менен
f(x) функциясы
Туунду
Кантип эсептелген — кадам сайын
Ар бир кадам колдонулган эрежени атайт жана эмне алмаштырылганын көрсөтөт, андыктан чечимди блокнотуңузга көчүрүп алса болот.
Функциянын графиги жана анын туундусу
Көк ийри сызык – f(x) функциясы, кызгылт сары – f′(x) туунду. Жашыл фон: f′(x) > 0 жана функция көбөйүүдө. Кызыл фон: f′(x) < 0 жана функция азайып баратат. Туунду нөлгө барабар болгон чекиттер графикте белгиленген — булар экстремалар (чокулар жана өрөөндөр).
Туунду деген эмне - үч мааниси бар
Геометриялык мааниси
Туунду f′(x₀) – бул х₀ чекитиндеги графикке тангенс сызыгынын эңкейиши, башкача айтканда, анын жантайыш бурчунун тангенси. Чоң туунду – тик көтөрүлүүнү, терс – ылдыйлоону, нөл – тангенс горизонталдуу (чоку же өрөөн) дегенди билдирет. Дал ошондуктан туундунун белгиси функциянын көбөйүп же азайып жатканын айтып турат.
Физикалык мааниси
Эгерде функция дененин абалын s(t) убакыттын функциясы катары сүрөттөсө, анда s′(t) туунду замандык ылдамдык, ал эми экинчи туунду s″(t) тездөө болуп саналат. Жалпысынан туунду бул чоңдуктун өзгөрүү ылдамдыгы: х өзгөргөндө у канчалык тез өзгөрөт. Бул Ньютондун туундуну киргизген түпкү мааниси.
Алгебралык мааниси
Формалдуу түрдө туунду бул өсүүлөрдүн катышынын чеги: f′(x) = lim (f(x+h) − f(x)) / h катары h → 0. Биз h → 0 кичинекей кадамын жасап, функциянын канчалык өзгөргөнүн көрүп, кадамдын узундугуна бөлөбүз. Кадам нөлгө жакындаган сайын, катыш чекиттеги өзгөрүүнүн так ылдамдыгына жакындайт.
Туунду жана экстремум
Максималдуу жана минималдуу чекиттерде тангенс горизонталдуу, андыктан андагы туунду нөлгө барабар. Бул эң чоң жана эң кичине маанилерди табуу үчүн негизги ыкма: туундуну нөлгө коюу жана тамырларды табуу. Эгерде мындай чекиттен өткөндө туунду белги белгисин “+” дан “−”ге өзгөртсө, бул максимум; минималдуу "-" тартып "+" чейин.
Туундулардын таблицасы
Негизги формулалар - жогорудагы бөлүштүрүүдө колдонулган ошол эле формулалар. C - туруктуу, а > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 Дифференциация эрежелери
сумундун туундусу туундулардын суммасына барабар: (u + v)′ = u′ + v′. Туруктуу фактор сырттан алынат: (Cu)′ = Cu′.
Продукт эрежеси: (u·v)' = u'v + uv'. Каттоо эрежеси: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
Курама функция үчүн чынжыр эрежеси: адегенде тышкы функцияны дифференциялоо керек, андан кийин ички функциянын туундусуна көбөйтүлөт. Мисалы, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.