ව්යුත්පන්නය — සෑම පියවරකම සවිස්තරාත්මක බිඳවැටීමක් සහ ප්රස්ථාරයක් සමඟ
ශ්රිතය f(x)
ව්යුත්පන්නය
ගණනය කළ ආකාරය — පියවරෙන් පියවර
සෑම පියවරක්ම අදාළ වූ රීතිය නම් කරන අතර ආදේශ කළ දේ පෙන්වයි, එවිට විසඳුම ඔබේ සටහන් පොතට පිටපත් කළ හැකිය.
ශ්රිතයේ සහ එහි ව්යුත්පන්නයේ ප්රස්ථාරය
නිල් වක්රය f(x) ශ්රිතය වේ, තැඹිලි එක f′(x) ව්යුත්පන්න වේ. හරිත පසුබිම: f′(x) > 0 සහ ශ්රිතය වැඩි වෙමින් පවතී. රතු පසුබිම: f′(x) <0 සහ ශ්රිතය අඩුවෙමින් පවතී. ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන වන ලකුණු ප්රස්ථාරයේ සලකුණු කර ඇත - මේවා අන්ත (ශිඛර සහ නිම්න) වේ.
ව්යුත්පන්නයක් යනු කුමක්ද — අර්ථ තුනක්
ජ්යාමිතික අර්ථය
ව්යුත්පන්න f′(x₀) යනු x₀ ලක්ෂ්යයේ ඇති ප්රස්ථාරයට ස්පර්ශක රේඛාවේ බෑවුමයි, එනම් එහි ආනතියේ කෝණයේ ස්පර්ශකය. විශාල ව්යුත්පන්නයක් යනු දැඩි නැගීමක්, සෘණ එකක් යනු බැසීමක්, ශුන්ය යනු ස්පර්ශකය තිරස් වේ (කඳු මුදුනක් හෝ නිම්නයක්). ව්යුත්පන්නයේ ලකුණ ඔබට ශ්රිතය වැඩි වේද අඩු වේද යන්න පවසන්නේ එබැවිනි.
භෞතික අර්ථය
ශ්රිතයක් ශරීරයේ පිහිටීම කාල s(t) ශ්රිතයක් ලෙස විස්තර කරන්නේ නම්, ව්යුත්පන්න s′(t) යනු ක්ෂණික ප්රවේගය වන අතර, දෙවන ව්යුත්පන්නය s″(t) ත්වරණය වේ. සාමාන්යයෙන් ව්යුත්පන්නය යනු ප්රමාණයක වෙනස් වීමේ වේගයයි: x වෙනස් වන විට y කෙතරම් වේගයෙන් වෙනස් වේද යන්නයි. නිව්ටන් ව්යුත්පන්නය හඳුන්වා දුන් මුල් අර්ථය මෙයයි.
වීජීය අර්ථය
විධිමත් ලෙස ව්යුත්පන්නය යනු වර්ධක අනුපාතයේ සීමාවයි: f′(x) = lim (f(x+h) - f(x)) / h ලෙස h → 0. අපි කුඩා පියවරක් ගන්නවා h, ශ්රිතය කොපමණ වෙනස් වී ඇත්දැයි බලන්න, සහ පියවරේ දිග අනුව බෙදන්න. පියවර ශුන්යයට ළඟා වන විට, අනුපාතය ලක්ෂ්යයේ වෙනස් වීමේ නියම අනුපාතයට ළඟා වේ.
ව්යුත්පන්න සහ අන්තය
උපරිම සහ අවම ලක්ෂ්යවලදී ස්පර්ශකය තිරස් වේ, එබැවින් එහි ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සමාන වේ. විශාලතම හා කුඩාම අගයන් සොයා ගැනීම සඳහා ප්රධාන තාක්ෂණය මෙයයි: ව්යුත්පන්නය ශුන්යයට සකසා මූලයන් සොයා ගන්න. එවැනි ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන විට, ව්යුත්පන්න ලකුණ “+” සිට “-” දක්වා වෙනස් වේ නම්, එය උපරිම වේ; "-" සිට "+" දක්වා, අවම.
ව්යුත්පන්න වගුව
මූලික සූත්ර - ඉහත බිඳවැටීමේදී භාවිතා කරන ලද ඒවාමය. C යනු නියතයකි, a > 0.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| C | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x |
| loga x | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1 − x²) |
| arccos x | −1/√(1 − x²) |
| arctg x | 1/(1 + x²) |
📚 අවකලනය කිරීමේ නීති
එකක ව්යුත්පන්නය ව්යුත්පන්නවල එකතුවට සමාන වේ: (u + v)′ = u′ + v′. නියත සාධකයක් පිටතින් ගනු ලැබේ: (C·u)′ = C·u′.
නිෂ්පාදන රීතිය: (u·v)′ = u′·v + u·v′. ප්රමාණ රීතිය: (u/v)′ = (u′·v − u·v′) / v².
සංයුක්ත ශ්රිතයක් සඳහා දාම රීතිය: පළමුව බාහිර ශ්රිතය වෙනස් කරන්න, ඉන්පසු අභ්යන්තරයේ ව්යුත්පන්නයෙන් ගුණ කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස, (sin 2x)′ = cos(2x)·2.